Contenu
- Formule pour calculer la surface d'un octogone
- Dérivation
- Formule de calcul du volume de l'octaèdre
- Dérivation
- Surface
En géométrie, un octogone est un polygone à huit côtés. Un octogone régulier a huit côtés égaux et angles égaux. Il est communément connu par des panneaux d'arrêt. Un octaèdre est un polyèdre à huit côtés et un octaèdre régulier a huit triangles avec des arêtes égales, c'est-à-dire deux pyramides carrées se rejoignant à leurs bases.
Formule pour calculer la surface d'un octogone
La formule pour calculer l'aire d'un octogone régulier avec des côtés de longueur "a" est la suivante: 2 x (1 + racine (2)) x a², où "racine" désigne la racine carrée.
Dérivation
Un octogone peut être vu comme quatre rectangles, un carré au centre et quatre triangles isocèles dans les coins.
La place a une superficie de "a²".
Les triangles ont les côtés "a", a / racine (2) et a / racine (2), selon le théorème de Pythagore. Par conséquent, chacun a une superficie de ^ 2/4.
Les rectangles ont une aire de x a / root (2).
La somme de ces neuf zones est 2a² (1 + racine (2)).
Formule de calcul du volume de l'octaèdre
La formule pour le volume d'un octaèdre régulier de côtés "a" est un³ x racine (2) / 3.
Dérivation
L'aire d'une pyramide à quatre côtés est la suivante: base x hauteur / 3. La surface d'un octogone régulier est donc 2 x base x hauteur / 3.
Base = a².
Choisissez deux sommets adjacents, appelez "F" et "C". "O" est le centre. FOC est un triangle rectangle isocèle de base "a", de sorte que OC et OF ont pour longueur a / root (2) selon le théorème de Pythagore. Ainsi, height = a / root (2).
Par conséquent, le volume d'un octaèdre régulier est 2 x (a²) x a / racine (2) / 3 = a³ x racine (2) / 3.
Surface
La surface de l'octaèdre régulier est l'aire d'un triangle équilatéral de côté "a" multiplié par huit.
Pour utiliser le théorème de Pythagore, tracez une ligne allant du sommet à la base. Cela crée deux triangles, avec l'hypoténuse de longueur "a" et de longueur d'un côté "a / 2". Par conséquent, le troisième côté doit être racine [a² - a ^ 2/4] = racine (3) a / 2. Ainsi, l'aire d'un triangle équilatéral est égale à la hauteur x base / 2 = racine (3) a / 2 x a / 2 = racine (3) a ^ 2/4.
Sur huit côtés, la surface d’un octaèdre régulier est 2 x racine (3) a².
