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La définition de epsilon-delta est une démonstration que les étudiants apprennent en première année de cours de calcul. Cette définition est un moyen classique de montrer qu’une fonction se rapproche d’un seuil spécifique comme une variable indépendante se rapproche d’une valeur donnée. Epsilon et delta sont, respectivement, les quatrième et cinquième lettres de l'alphabet grec. Ces lettres sont traditionnellement utilisées dans le processus de calcul des limites et sont également utilisées dans des processus de démonstration.
Les instructions
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On devrait commencer par travailler avec la définition de limite formelle. Cette définition indique que "la limite de f (x) est L, lorsque x approche k, si pour chaque epsilon supérieur à zéro, il existe un delta correspondant, supérieur à zéro, tel absolue de la différence entre x et k est inférieure à delta, la valeur absolue de la différence entre f (x) et L sera inférieure à epsilon. "De manière informelle, cela signifie que la limite de f (x) est L, lorsque x s'approche de k, s'il est possible de rendre f (x) aussi proche de L que souhaité, en approchant de x à k. Pour effectuer la démonstration epsilon-delta, il faut montrer qu’il est possible de définir delta en termes d’epsilon, pour une fonction et une frontière données.
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Manipulez la déclaration "| f (x) - L | est plus petite que le epsilon" jusqu'à ce que vous obteniez | x - k | moins qu'une valeur. Considérez cette "valeur" comme étant le delta. Rappelez-vous la définition formelle et l'idée centrale, qui stipule qu'il est nécessaire de montrer que pour tout epsilon, il existe un delta, établissant entre eux une relation qui rend la définition vraie. Pour cette raison, il est nécessaire de définir delta en termes d'epsilon.
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Notez les exemples suivants pour prendre en compte le déroulement de la définition. Par exemple, pour prouver que la limite de 3x-1 est 2, lorsque x approche 1, considérons k = 1, L = 2 et f (x) = 3x-1. Pour être sûr que | f (x) - L | est inférieur à epsilon, do | (3x - 1) - 2 | inférieur à epsilon. Cela signifie que | 3x - 3 | est inférieur au epsilon, donc 3 | x - 1 | est également, ou || x - 1 | est inférieur à epsilon / 3. Ainsi, en considérant que delta = epsilon / 3, | f (x) - L | sera inférieur à epsilon chaque fois que | x - k | est inférieur au delta.
Comment
- La partie centrale de la preuve consiste à transformer f (x) - L en x - k. Si vous gardez cet objectif à l'esprit, le reste de la démonstration se déroulera parfaitement.
Avis
- Dans certaines situations, la limite d'une fonction peut indiquer que f (x) tend vers l'infini chaque fois que x tend vers l'infini. La définition d'epsilon-delta ne fonctionne pas dans ces cas; dans ces situations, une démonstration similaire peut être faite en choisissant deux grands nombres, M et N, et en montrant que f (x) peut dépasser M en faisant x dépasser N et que M peut être aussi grand que souhaité.
